Σ. Τσόρης, Τα όρια της λογικής, 2009

Πρόλογος

Λίγα λόγια για τα δύο τμήματα αυτής της μελέτης

Τόμος Α΄: Τα κεφάλαια που περιγράφουν το μαθηματικό χώρο

Τόμος Β΄: Τα κεφάλαια που περιγράφουν το φυσικό χώρο

ΜΕΡΟΣ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ

Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Τι είναι η κλασική Λογική και τα μαθηματικά

Η ιστορική αναγκαιότητα της μέτρησης

Η εξέλιξη της σκέψης με τα Μαθηματικά

Η ορθολογική σκέψη και οι βασικές της διαδικασίες

Το γνωσιολογικό τίμημα της κλασικής Λογικής

Τα οντολογικά προβλήματα των Μαθηματικών ένεκα της λήθης των αυθαίρετων παραδοχών τους

Ο δρόμος για την αποκάλυψη των κρυμμένων παραδοχών στην αξιωματική Λογική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Μια ιστορία και ένα παραμύθι για τη μέτρηση

Οι βοσκοί και οι λύκοι

Η φανερή σύμβαση της μέτρησης ξεχνιέται

Η πρώτη διατύπωση της καταγωγής της μέτρησης

Ο βοσκός Γέδελως

Τα χνάρια των λύκων μέσα στο σύστημα προβατομέτρησης

Ο χρησμός του σοφού βοσκού και το τέλος του Γέδελου

Η κρυμμένη παραδοχή της μέτρησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Η απεικόνιση του μαθηματικού χώρου

Μέρος πρώτο: Η γραφική αναπαράσταση των λογικών διαδικασιών

H σύμπλοκη εννοιολογική σημασία της κλασικής συνέπειας

Υπολογισμοί και περιγραφή του «μη γνώριμου» από συνεπείς διαδικασίες

Η αναπαράσταση της ανεξαρτησίας στις υπολογιστικές διαδικασίες στο χώρο της υπέρθεσης

Η συνέχεια και η ασυνέχεια στην εικονική αναπαράσταση του φυσικού χώρου

Η απεικόνιση των λογικών διαδικασιών του εικονικού χώρου της Αριθμητικής - Ο χώρος της υπέρθεσης της Αριθμητικής

Μέρος δεύτερο: Η ανάδειξη της «αυθαιρεσίας» του μαθηματικού χώρου

Η αυτοαναφορική διαδικασία του εικονικού χώρου της υπέρθεσης

Η αναπαράσταση των δύο περιοχών του μαθηματικού χώρου στην εικονική “οθόνη”

Η κατοπτρική φύση του χώρου των αρνήσεων στο χώρο της υπέρθεσης

Η επιφάνεια του κατόπτρου, ο χώρος της απροσδιοριστίας στο χώρο της υπέρθεσης

Οι θέσεις και οι αρνήσεις είναι συμπληρωματικές ως προς τη συνέπεια

Η γραφική αναπαράσταση της αποδειξιμότητας

Σύνοψη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ο πρώτος γρίφος

Η πληρότητα του λογικο-μαθηματικού χώρου

Συνέπεια και πληρότητα

Η σημαντικότητα του θεωρήματος G

Αλήθεια και αποδεικτική πληρότητα των λογικών συστημάτων

Οι αλγοριθμικές διαδικασίες και οι μηχανές Turing

Η προσέγγιση του θεωρήματος G από τους Penrose-Turing

Η ανάλυση του συλλογισμού των Penrose-Turing

Οι φιλοσοφικές θέσεις των Gödel-Turing

Η αυτοσυνείδηση και οι υπολογιστικοί βρόχοι

Επίλογος - Συμπέρασμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ο δεύτερος γρίφος

Μέρος Πρώτο:

Η επίλυση των οντολογικών θεμάτων στην αξιωματική Λογική

Η οντολογία της γλώσσας και των ονομάτων στον Πλάτωνα

Η οθόνη της Λογικής και η κατανόηση της οντολογίας των Μαθηματικών

Μέρος Δεύτερο:

Η Αριθμητική και η αποδειξιμότητα της εικασίας του Goldbach

Η ιστορία της εικασίας

Η θεμελίωση της Αριθμητικής

Η έννοια των πληθαρίθμων (cardinal numbers)

Η έννοια της διάταξης (ordinality) στους φυσικούς αριθμούς

Η σχέση πληθαρίθμων και διατεταγμένων αριθμών (cardinals και ordinals)

Οι “καλοί”, οι “κακοί” και οι πρώτοι στην Αριθμητική

Οι αποδειγμένες ιδιότητες των πρώτων αριθμών

Η βασική μη αποδειγμένη ιδιότητα των πρώτων αριθμών, η περίεργη κατανομή τους

Η επίλυση της εικασίας του Goldbach

Ένα πρελούδιο για το φυσικό χώρο Φ

Βιβλία αναφοράς

Σημειωματάριο - Παραπομπές